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Dérivée de Arcsine

Guide complet avec formule, preuve, exemples et graphique.

Réponse Rapide

ddxarcsin⁡(x)=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

La dérivée de \arcsin(x) est :

Preuve / Dérivation

Dérivation étape par étape de la formule.

Commencez avec la définition de l'arcsinus comme inverse du sinus.

Lety=arcsin⁡(x),thenx=sin⁡(y)Let y = \arcsin(x), then x = \sin(y)

Différenciez les deux côtés implicitement par rapport à x.

Differentiateimplicitly:1=cos⁡(y)⋅dydxDifferentiate implicitly: 1 = \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}

Résolvez pour dy/dx.

dydx=1cos⁡(y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)}

Utilisez l'identité pythagoricienne pour exprimer cos(y) en fonction de x.

Sincesin⁡(y)=x,cos⁡(y)=1−sin⁡2(y)=1−x2Since \sin(y) = x, \cos(y) = \sqrt{1-\sin^2(y)} = \sqrt{1-x^2}

Remplacez pour obtenir la formule de dérivée finale.

∴ddxarcsin⁡(x)=11−x2\therefore \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Graphique

Visualisation de Arcsine et sa dérivée.

f(x) = \arcsin(x)

f(x)=arcsin⁡(x)f(x) = \arcsin(x)

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f′(x)=11−x2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Domain: (−1,1)(-1, 1)Range: [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

Exemples Résolus

Solutions étape par étape utilisant la règle de chaîne et autres techniques.

Trouver : ddxarcsin⁡(2x)\frac{d}{dx}\arcsin(2x)

Solution : 21−4x2\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

1.Chainrule:u=2x,u′=2Chain rule: u = 2x, u' = 2
2.=11−(2x)2⋅2=21−4x2= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

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Dérivées Connexes

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}

Questions Fréquentes

Quelle est la dérivée de Arcsine ?

+
La dérivée de \arcsin(x) est 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Ce résultat fondamental donne le taux de variation instantané en tout point x du domaine. C'est l'un des piliers du calcul différentiel, utilisé partout — de la physique (vitesse/accélération) à l'économie (analyse marginale).

Comment trouver la dérivée de Arcsine ?

+
Pour trouver la dérivée de Arcsine : (1) identifier quelle règle de différenciation s'applique — formule standard, définition par limite ou combinaison ; (2) appliquer directement la règle ; (3) simplifier pour obtenir 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Dans la plupart des cas, c'est une application directe d'une formule connue.

Pourquoi la dérivée de Arcsine est-elle égale à \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ?

+
Intuitivement, la dérivée vaut 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} en raison du comportement du taux de variation de la fonction. Pour les fonctions trigonométriques, cela découle de la géométrie du cercle unitaire — en parcourant la courbe, la pente en chaque point suit un motif complémentaire. Pour les fonctions exponentielles, le taux de croissance est proportionnel à la valeur actuelle.

Quelle est la dérivée de Arcsine² (au carré) ?

+
En utilisant la règle de chaîne : ddx[arcsin⁡(x)]2=2⋅arcsin⁡(x)⋅ddx[arcsin⁡(x)]=2⋅arcsin⁡(x)⋅11−x2\frac{d}{dx}[\arcsin(x)]^2 = 2 \cdot \arcsin(x) \cdot \frac{d}{dx}[\arcsin(x)] = 2 \cdot \arcsin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Cela combine la règle de puissance (abaisser l'exposant de 2, soustraire 1) avec la règle de chaîne (multiplier par la dérivée interne). La règle de chaîne est essentielle quand une fonction est composée dans une autre.

Quelle est la différence entre ∫arcsin⁡(x) dx\int \arcsin(x)\, dx et ddx[arcsin⁡(x)]\frac{d}{dx}[\arcsin(x)] ?

+
La dérivée ddx[arcsin⁡(x)]=11−x2\frac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} mesure le taux de variation instantané (pente), tandis que l'intégrale ∫arcsin⁡(x) dx\int \arcsin(x)\, dx mesure l'aire accumulée sous la courbe (primitive). Ce sont des opérations inverses : dériver une intégrale redonne la fonction originale, et intégrer une dérivée retrouve \arcsin(x) à une constante CC près.

Quelles sont les erreurs courantes en dérivant Arcsine ?

+
Erreurs fréquentes : (1) oublier la règle de chaîne quand \arcsin(x) est dans une autre fonction — ex. sin⁡(arcsin⁡(x))\sin(\arcsin(x)) nécessite de multiplier par 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ; (2) erreurs de signe, surtout pour les dérivées trigonométriques où cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x) = -\sin(x) a un signe moins ; (3) confondre dérivée et intégrale ; (4) mauvaise application des règles produit vs chaîne.

Quelle est la dérivée seconde de Arcsine ?

+
La dérivée seconde s'obtient en dérivant encore 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} : d2dx2[arcsin⁡(x)]=ddx[11−x2]\frac{d^2}{dx^2}[\arcsin(x)] = \frac{d}{dx}[\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}]. Elle mesure la concavité (courbure) ou l'accélération. Si \arcsin(x) représente la position, la première dérivée est la vitesse (11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) et la seconde est l'accélération. Positive = concave vers le haut, négative = concave vers le bas.

Où la dérivée de Arcsine est-elle utilisée dans la vie réelle ?

+
Cette dérivée s'utilise dans de nombreux domaines : physique pour les mouvements harmoniques et propagation d'ondes ; ingénierie pour systèmes de contrôle et traitement du signal ; économie pour analyses de coûts/marges ; apprentissage automatique pour optimisation basée sur les gradients ; chimie pour modéliser les vitesses de réaction. Toute discipline traitant des taux de changement dépend de ces dérivées fondamentales.