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Dérivée de Sine

Guide complet avec formule, preuve, exemples et graphique.

Réponse Rapide

ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

La dérivée de \sin(x) est :

Preuve / Dérivation

Dérivation étape par étape de la formule.

Appliquer la définition de la dérivée par limite.

ddxsin⁡(x)=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡(x)h\frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}

Développer en utilisant la formule d'addition du sinus : sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h).

=lim⁡h→0sin⁡(x)cos⁡(h)+cos⁡(x)sin⁡(h)−sin⁡(x)h= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}

Regrouper les termes et factoriser sin(x) et cos(x).

=lim⁡h→0[sin⁡(x)cos⁡(h)−1h+cos⁡(x)sin⁡(h)h]= \lim_{h \to 0} \left[ \sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

Évaluer les limites connues : lim (cos(h)-1)/h = 0 et lim sin(h)/h = 1.

=sin⁡(x)⋅0+cos⁡(x)⋅1=cos⁡(x)= \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)

Graphique

Visualisation de Sine et sa dérivée.

f(x) = \sin(x)

f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)

f'(x) = \cos(x)

f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)
Domain: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)Range: [−1,1][-1, 1]

Exemples Résolus

Solutions étape par étape utilisant la règle de chaîne et autres techniques.

Trouver : ddxsin⁡(3x)\frac{d}{dx}\sin(3x)

Solution : 3cos⁡(3x)3\cos(3x)

1.Applychainrule:ddxsin⁡(u)=cos⁡(u)⋅u′Apply chain rule: \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'
2.Letu=3x,sou′=3Let u = 3x, so u' = 3
3.ddxsin⁡(3x)=cos⁡(3x)⋅3=3cos⁡(3x)\frac{d}{dx}\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

Trouver : ddxsin⁡2(x)\frac{d}{dx}\sin^2(x)

Solution : 2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(2x)2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)

1.Applychainrule:ddx[u]2=2u⋅u′Apply chain rule: \frac{d}{dx}[u]^2 = 2u \cdot u'
2.Letu=sin⁡(x),sou′=cos⁡(x)Let u = \sin(x), so u' = \cos(x)
3.ddxsin⁡2(x)=2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)=sin⁡(2x)\frac{d}{dx}\sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)

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Dérivées Connexes

cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Questions Fréquentes

Quelle est la dérivée de Sine ?

+
La dérivée de \sin(x) est cos⁡(x)\cos(x). Ce résultat fondamental donne le taux de variation instantané en tout point x du domaine. C'est l'un des piliers du calcul différentiel, utilisé partout — de la physique (vitesse/accélération) à l'économie (analyse marginale).

Comment trouver la dérivée de Sine ?

+
Pour trouver la dérivée de Sine : (1) identifier quelle règle de différenciation s'applique — formule standard, définition par limite ou combinaison ; (2) appliquer directement la règle ; (3) simplifier pour obtenir cos⁡(x)\cos(x). Dans la plupart des cas, c'est une application directe d'une formule connue.

Pourquoi la dérivée de Sine est-elle égale à \cos(x) ?

+
Intuitivement, la dérivée vaut cos⁡(x)\cos(x) en raison du comportement du taux de variation de la fonction. Pour les fonctions trigonométriques, cela découle de la géométrie du cercle unitaire — en parcourant la courbe, la pente en chaque point suit un motif complémentaire. Pour les fonctions exponentielles, le taux de croissance est proportionnel à la valeur actuelle.

Quelle est la dérivée de Sine² (au carré) ?

+
En utilisant la règle de chaîne : ddx[sin⁡(x)]2=2⋅sin⁡(x)⋅ddx[sin⁡(x)]=2⋅sin⁡(x)⋅cos⁡(x)\frac{d}{dx}[\sin(x)]^2 = 2 \cdot \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)] = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x). Cela combine la règle de puissance (abaisser l'exposant de 2, soustraire 1) avec la règle de chaîne (multiplier par la dérivée interne). La règle de chaîne est essentielle quand une fonction est composée dans une autre.

Quelle est la différence entre ∫sin⁡(x) dx\int \sin(x)\, dx et ddx[sin⁡(x)]\frac{d}{dx}[\sin(x)] ?

+
La dérivée ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x) mesure le taux de variation instantané (pente), tandis que l'intégrale ∫sin⁡(x) dx\int \sin(x)\, dx mesure l'aire accumulée sous la courbe (primitive). Ce sont des opérations inverses : dériver une intégrale redonne la fonction originale, et intégrer une dérivée retrouve \sin(x) à une constante CC près.

Quelles sont les erreurs courantes en dérivant Sine ?

+
Erreurs fréquentes : (1) oublier la règle de chaîne quand \sin(x) est dans une autre fonction — ex. sin⁡(sin⁡(x))\sin(\sin(x)) nécessite de multiplier par cos⁡(x)\cos(x) ; (2) erreurs de signe, surtout pour les dérivées trigonométriques où cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x) = -\sin(x) a un signe moins ; (3) confondre dérivée et intégrale ; (4) mauvaise application des règles produit vs chaîne.

Quelle est la dérivée seconde de Sine ?

+
La dérivée seconde s'obtient en dérivant encore cos⁡(x)\cos(x) : d2dx2[sin⁡(x)]=ddx[cos⁡(x)]\frac{d^2}{dx^2}[\sin(x)] = \frac{d}{dx}[\cos(x)]. Elle mesure la concavité (courbure) ou l'accélération. Si \sin(x) représente la position, la première dérivée est la vitesse (cos⁡(x)\cos(x)) et la seconde est l'accélération. Positive = concave vers le haut, négative = concave vers le bas.

Où la dérivée de Sine est-elle utilisée dans la vie réelle ?

+
Cette dérivée s'utilise dans de nombreux domaines : physique pour les mouvements harmoniques et propagation d'ondes ; ingénierie pour systèmes de contrôle et traitement du signal ; économie pour analyses de coûts/marges ; apprentissage automatique pour optimisation basée sur les gradients ; chimie pour modéliser les vitesses de réaction. Toute discipline traitant des taux de changement dépend de ces dérivées fondamentales.