Arcsine的导数

Q: Arcsine的导数是什么？

$\arcsin(x)$ 的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。这是微积分中最基础的导数之一，需要牢记。

Q: Arcsine的导数始终不变吗？

是的，$\arcsin(x)$ 的导数公式是常数——它不依赖于 x。但当与内函数复合时（如 $\arcsin(x)$(u(x))，需要使用链式法则。

包含公式推导、例题详解与函数图像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\arcsin(x) 的导数为：

证明/推导过程

导数公式的逐步推导。

从反正弦的定义开始：它是正弦的反函数。

Let y = \arcsin(x), then x = \sin(y)

利用隐函数微分对两边关于 x 求导。

Differentiate implicitly: 1 = \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}

解出 dy/dx。

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)}

利用勾股恒等式将 cos(y) 用 x 表示。

Since \sin(y) = x, \cos(y) = \sqrt{1-\sin^2(y)} = \sqrt{1-x^2}

代入得到最终的导数公式。

\therefore \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

函数图像

Arcsine及其导数的可视化图像。

f(x) = \arcsin(x)

f(x) = \arcsin(x)

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Domain:

(-1, 1)

Range:

[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

例题详解

使用链式法则等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\arcsin(2x)$

解： $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Chain rule: u = 2x, u' = 2

= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

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常见问题

Arcsine的导数是什么？

\arcsin(x)

的导数是

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

。这是微积分中最基础的导数之一，需要牢记。

如何证明Arcsine的导数？

证明使用导数的极限定义。请参见上方的证明部分查看完整的逐步推导过程。

Arcsine的导数始终不变吗？

是的，

\arcsin(x)

的导数公式是常数——它不依赖于 x。但当与内函数复合时（如

\arcsin(x)

(u(x))，需要使用链式法则。

Arcsine的导数在何处无定义？

导数在原函数不可微的地方无定义。详见定义域部分。

为什么Arcsine的导数很重要？

该导数在物理学（波动）、工程学（信号处理）、经济学（振荡模型）以及许多涉及周期性或增长现象的领域频繁出现。