Natural Logarithm的导数

Q: Natural Logarithm的导数是什么？

$\ln(x)$ 的导数是 $\frac{1}{x}$。这是微积分中最基础的导数之一，需要牢记。

Q: Natural Logarithm的导数始终不变吗？

是的，$\ln(x)$ 的导数公式是常数——它不依赖于 x。但当与内函数复合时（如 $\ln(x)$(u(x))，需要使用链式法则。

包含公式推导、例题详解与函数图像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

\ln(x) 的导数为：

证明/推导过程

导数公式的逐步推导。

从自然对数的定义开始：它是指数函数的反函数。

Let y = \ln(x), then x = e^y

利用隐函数微分对两边关于 x 求导。

Differentiate implicitly: \frac{d}{dx}[x] = \frac{d}{dx}[e^y]

右侧应用链式法则：d/dx[e^y] = e^y · dy/dx。

1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}

解出 dy/dx，并代回 e^y = x。

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}

函数图像

Natural Logarithm及其导数的可视化图像。

f(x) = \ln(x)

f(x) = \ln(x)

f'(x) = \frac{1}{x}

f'(x) = \frac{1}{x}

Domain:

(0, +\infty)

Range:

(-\infty, +\infty)

例题详解

使用链式法则等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\ln(5x+2)$

解： $\frac{5}{5x+2}$

Chain rule: u = 5x+2, u' = 5

\frac{d}{dx}\ln(5x+2) = \frac{1}{5x+2} \cdot 5 = \frac{5}{5x+2}

求： $\frac{d}{dx}\ln(x^2+1)$

解： $\frac{2x}{x^2+1}$

u = x^2+1, u' = 2x

= \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x

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常见问题

Natural Logarithm的导数是什么？

\ln(x)

的导数是

\frac{1}{x}

。这是微积分中最基础的导数之一，需要牢记。

如何证明Natural Logarithm的导数？

证明使用导数的极限定义。请参见上方的证明部分查看完整的逐步推导过程。

Natural Logarithm的导数始终不变吗？

是的，

\ln(x)

的导数公式是常数——它不依赖于 x。但当与内函数复合时（如

\ln(x)

(u(x))，需要使用链式法则。

Natural Logarithm的导数在何处无定义？

导数在原函数不可微的地方无定义。详见定义域部分。

为什么Natural Logarithm的导数很重要？

该导数在物理学（波动）、工程学（信号处理）、经济学（振荡模型）以及许多涉及周期性或增长现象的领域频繁出现。