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Sine的导数

包含公式推导、例题详解与函数图像的完整指南。

快速答案

ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

\sin(x) 的导数为：

证明/推导过程

导数公式的逐步推导。

应用导数的极限定义。

ddxsin⁡(x)=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡(x)h\frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}

利用正弦加法公式展开：sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)

=lim⁡h→0sin⁡(x)cos⁡(h)+cos⁡(x)sin⁡(h)−sin⁡(x)h= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}

分组并提取 sin(x) 和 cos(x)

=lim⁡h→0[sin⁡(x)cos⁡(h)−1h+cos⁡(x)sin⁡(h)h]= \lim_{h \to 0} \left[ \sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

计算已知极限：lim (cos(h)-1)/h = 0，lim sin(h)/h = 1

=sin⁡(x)⋅0+cos⁡(x)⋅1=cos⁡(x)= \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)

函数图像

Sine及其导数的可视化图像。

f(x) = \sin(x)

f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)

f'(x) = \cos(x)

f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)
Domain: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)Range: [−1,1][-1, 1]

例题详解

使用链式法则等技巧的逐步解答。

求： ddxsin⁡(3x)\frac{d}{dx}\sin(3x)

解： 3cos⁡(3x)3\cos(3x)

1.应用链式法则：ddxsin⁡(u)=cos⁡(u)⋅u′应用链式法则：\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'
2.令u=3x，则u′=3令 u = 3x，则 u' = 3
3.ddxsin⁡(3x)=cos⁡(3x)⋅3=3cos⁡(3x)\frac{d}{dx}\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

求： ddxsin⁡2(x)\frac{d}{dx}\sin^2(x)

解： 2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(2x)2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)

1.应用链式法则：ddx[u]2=2u⋅u′应用链式法则：\frac{d}{dx}[u]^2 = 2u \cdot u'
2.令u=sin⁡(x)，则u′=cos⁡(x)令 u = \sin(x)，则 u' = \cos(x)
3.ddxsin⁡2(x)=2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)=sin⁡(2x)\frac{d}{dx}\sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)

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cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

常见问题

Sine的导数是什么？

+
sin⁡(x)\sin(x) 的导数是 cos⁡(x)\cos(x)。这是微积分中最基础的导数之一，需要牢记。

如何证明Sine的导数？

+
证明使用导数的极限定义。请参见上方的证明部分查看完整的逐步推导过程。

Sine的导数始终不变吗？

+
是的，sin⁡(x)\sin(x) 的导数公式是常数——它不依赖于 x。但当与内函数复合时（如 sin⁡(x)\sin(x)(u(x))，需要使用链式法则。

Sine的导数在何处无定义？

+
导数在原函数不可微的地方无定义。详见定义域部分。

为什么Sine的导数很重要？

+
该导数在物理学（波动）、工程学（信号处理）、经济学（振荡模型）以及许多涉及周期性或增长现象的领域频繁出现。