Derivative Calculator LogoAfgeleide Calculator

Afgeleide van Arcsine

Complete gids met formule, bewijs, voorbeelden en grafiek.

Snelantwoord

ddxarcsin⁡(x)=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

De afgeleide van \arcsin(x) is:

Bewijs / Afleiding

Stapsgewijze afleiding van de afgeleideformule.

Begin met de definitie van boogsinus als inverse van sinus.

Lety=arcsin⁡(x),thenx=sin⁡(y)Let y = \arcsin(x), then x = \sin(y)

Differentieer beide kanten impliciet ten opzichte van x.

Differentiateimplicitly:1=cos⁡(y)⋅dydxDifferentiate implicitly: 1 = \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}

Los op voor dy/dx.

dydx=1cos⁡(y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)}

Gebruik de pythagorese identiteit om cos(y) uit te drukken in x.

Sincesin⁡(y)=x,cos⁡(y)=1−sin⁡2(y)=1−x2Since \sin(y) = x, \cos(y) = \sqrt{1-\sin^2(y)} = \sqrt{1-x^2}

Vervang om de uiteindelijke afgeleide formule te verkrijgen.

∴ddxarcsin⁡(x)=11−x2\therefore \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Grafiek

Visualisatie van Arcsine en zijn afgeleide.

f(x) = \arcsin(x)

f(x)=arcsin⁡(x)f(x) = \arcsin(x)

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f′(x)=11−x2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Domain: (−1,1)(-1, 1)Range: [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

Uitgewerkte voorbeelden

Stap-voor-stap oplossingen met de kettingregel en andere technieken.

Bereken: ddxarcsin⁡(2x)\frac{d}{dx}\arcsin(2x)

Oplossing: 21−4x2\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

1.Chainrule:u=2x,u′=2Chain rule: u = 2x, u' = 2
2.=11−(2x)2⋅2=21−4x2= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

Bereken elke afgeleide

Gebruik onze gratis online afgeleiderekenmachine om je antwoorden te controleren of complexere functies op te lossen.

Open afgeleiderekenmachine

Gerelateerde afgeleides

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}

Veelgestelde vragen

Wat is de afgeleide van Arcsine?

+
De afgeleide van arcsin⁡(x)\arcsin(x) is 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Dit is een van de fundamentele afgeleides van de analyse die je uit je hoofd moet kennen.

Hoe bewijs je de afgeleide van Arcsine?

+
Het bewijs gebruikt de limietdefinitie van de afgeleide. Zie de Bewijs-sectie hierboven voor de volledige stapsgewijze afleiding.

Is de afgeleide van Arcsine altijd hetzelfde?

+
Ja, de afgeleideformule voor arcsin⁡(x)\arcsin(x) is constant — hij hangt niet af van x. Maar bij samengestelde functies (bijv. arcsin⁡(x)\arcsin(x)(u(x))) geldt de kettingregel.

Waar is de afgeleide van Arcsine niet gedefinieerd?

+
De afgeleide is niet gedefinieerd waar de oorspronkelijke functie niet differentieerbaar is. Zie de domeinsectie voor details.