Afgeleide van Sine

Q: Wat is de afgeleide van Sine?

De afgeleide van $\sin(x)$ is $\cos(x)$. Dit is een van de fundamentele afgeleides van de analyse die je uit je hoofd moet kennen.

Q: Is de afgeleide van Sine altijd hetzelfde?

Ja, de afgeleideformule voor $\sin(x)$ is constant — hij hangt niet af van x. Maar bij samengestelde functies (bijv. $\sin(x)$(u(x))) geldt de kettingregel.

Complete gids met formule, bewijs, voorbeelden en grafiek.

Snelantwoord

\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

De afgeleide van \sin(x) is:

Bewijs / Afleiding

Stapsgewijze afleiding van de afgeleideformule.

Pas de limietdefinitie van de afgeleide toe.

\frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}

Breid uit met de sinus-optellingsformule: sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h).

= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}

Groepeer termen en haal sin(x) en cos(x) buiten haakjes.

= \lim_{h \to 0} \left[ \sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

Evalueer de bekende limieten: lim (cos(h)-1)/h = 0 en lim sin(h)/h = 1.

= \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)

Grafiek

Visualisatie van Sine en zijn afgeleide.

f(x) = \sin(x)

f(x) = \sin(x)

f'(x) = \cos(x)

f'(x) = \cos(x)

Domain:

(-\infty, +\infty)

Range:

[-1, 1]

Uitgewerkte voorbeelden

Stap-voor-stap oplossingen met de kettingregel en andere technieken.

Bereken: $\frac{d}{dx}\sin(3x)$

Oplossing: $3\cos(3x)$

Apply chain rule: \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'

Let u = 3x, so u' = 3

\frac{d}{dx}\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

Bereken: $\frac{d}{dx}\sin^2(x)$

Oplossing: $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$

Apply chain rule: \frac{d}{dx}[u]^2 = 2u \cdot u'

Let u = \sin(x), so u' = \cos(x)

\frac{d}{dx}\sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)

Bereken elke afgeleide

Gebruik onze gratis online afgeleiderekenmachine om je antwoorden te controleren of complexere functies op te lossen.

Open afgeleiderekenmachine

Gerelateerde afgeleides

\cos(x)

\tan(x)

\cot(x)

\sec(x)

\csc(x)

\ln(x)

\log_a(x)

\sqrt{x}

\arcsin(x)

Veelgestelde vragen

Wat is de afgeleide van Sine?

De afgeleide van

\sin(x)

\cos(x)

. Dit is een van de fundamentele afgeleides van de analyse die je uit je hoofd moet kennen.

Hoe bewijs je de afgeleide van Sine?

Het bewijs gebruikt de limietdefinitie van de afgeleide. Zie de Bewijs-sectie hierboven voor de volledige stapsgewijze afleiding.

Is de afgeleide van Sine altijd hetzelfde?

Ja, de afgeleideformule voor

\sin(x)

is constant — hij hangt niet af van x. Maar bij samengestelde functies (bijv.

\sin(x)

(u(x))) geldt de kettingregel.

Waar is de afgeleide van Sine niet gedefinieerd?

De afgeleide is niet gedefinieerd waar de oorspronkelijke functie niet differentieerbaar is. Zie de domeinsectie voor details.