Afgeleide van Natural Logarithm

Q: Wat is de afgeleide van Natural Logarithm?

De afgeleide van $\ln(x)$ is $\frac{1}{x}$. Dit is een van de fundamentele afgeleides van de analyse die je uit je hoofd moet kennen.

Q: Is de afgeleide van Natural Logarithm altijd hetzelfde?

Ja, de afgeleideformule voor $\ln(x)$ is constant — hij hangt niet af van x. Maar bij samengestelde functies (bijv. $\ln(x)$(u(x))) geldt de kettingregel.

Complete gids met formule, bewijs, voorbeelden en grafiek.

Snelantwoord

\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

De afgeleide van \ln(x) is:

Bewijs / Afleiding

Stapsgewijze afleiding van de afgeleideformule.

Begin met de definitie van de natuurlijke logaritme als inverse van de exponentiële functie.

Let y = \ln(x), then x = e^y

Differentieer beide kanten ten opzichte van x met impliciete differentiatie.

Differentiate implicitly: \frac{d}{dx}[x] = \frac{d}{dx}[e^y]

Pas de kettingregel toe aan de rechterkant: d/dx[e^y] = e^y · dy/dx.

1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}

Los op voor dy/dx en vervang e^y = x terug.

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}

Grafiek

Visualisatie van Natural Logarithm en zijn afgeleide.

f(x) = \ln(x)

f(x) = \ln(x)

f'(x) = \frac{1}{x}

f'(x) = \frac{1}{x}

Domain:

(0, +\infty)

Range:

(-\infty, +\infty)

Uitgewerkte voorbeelden

Stap-voor-stap oplossingen met de kettingregel en andere technieken.

Bereken: $\frac{d}{dx}\ln(5x+2)$

Oplossing: $\frac{5}{5x+2}$

Chain rule: u = 5x+2, u' = 5

\frac{d}{dx}\ln(5x+2) = \frac{1}{5x+2} \cdot 5 = \frac{5}{5x+2}

Bereken: $\frac{d}{dx}\ln(x^2+1)$

Oplossing: $\frac{2x}{x^2+1}$

u = x^2+1, u' = 2x

= \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x

Bereken elke afgeleide

Gebruik onze gratis online afgeleiderekenmachine om je antwoorden te controleren of complexere functies op te lossen.

Open afgeleiderekenmachine

Gerelateerde afgeleides

\sin(x)

\cos(x)

\tan(x)

\cot(x)

\sec(x)

\csc(x)

\log_a(x)

\sqrt{x}

\arcsin(x)

Veelgestelde vragen

Wat is de afgeleide van Natural Logarithm?

De afgeleide van

\ln(x)

\frac{1}{x}

. Dit is een van de fundamentele afgeleides van de analyse die je uit je hoofd moet kennen.

Hoe bewijs je de afgeleide van Natural Logarithm?

Het bewijs gebruikt de limietdefinitie van de afgeleide. Zie de Bewijs-sectie hierboven voor de volledige stapsgewijze afleiding.

Is de afgeleide van Natural Logarithm altijd hetzelfde?

Ja, de afgeleideformule voor

\ln(x)

is constant — hij hangt niet af van x. Maar bij samengestelde functies (bijv.

\ln(x)

(u(x))) geldt de kettingregel.

Waar is de afgeleide van Natural Logarithm niet gedefinieerd?

De afgeleide is niet gedefinieerd waar de oorspronkelijke functie niet differentieerbaar is. Zie de domeinsectie voor details.