Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Arcsine

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxarcsin⁡(x)=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Производная от \arcsin(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Начнём с определения арксинуса как обратной функции синуса.

Lety=arcsin⁡(x),thenx=sin⁡(y)Let y = \arcsin(x), then x = \sin(y)

Продифференцируем обе части неявно по x.

Differentiateimplicitly:1=cos⁡(y)⋅dydxDifferentiate implicitly: 1 = \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}

Решим относительно dy/dx.

dydx=1cos⁡(y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)}

Используем пифагорово тождество, чтобы выразить cos(y) через x.

Sincesin⁡(y)=x,cos⁡(y)=1−sin⁡2(y)=1−x2Since \sin(y) = x, \cos(y) = \sqrt{1-\sin^2(y)} = \sqrt{1-x^2}

Подставим для получения итоговой формулы производной.

∴ddxarcsin⁡(x)=11−x2\therefore \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

График

Визуализация Arcsine и её производной.

f(x) = \arcsin(x)

f(x)=arcsin⁡(x)f(x) = \arcsin(x)

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f′(x)=11−x2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Domain: (−1,1)(-1, 1)Range: [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxarcsin⁡(2x)\frac{d}{dx}\arcsin(2x)

Решение: 21−4x2\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

1.Chainrule:u=2x,u′=2Chain rule: u = 2x, u' = 2
2.=11−(2x)2⋅2=21−4x2= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Arcsine?

+
Производная от arcsin⁡(x)\arcsin(x) равна 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Arcsine?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Arcsine одинакова?

+
Да, формула производной для arcsin⁡(x)\arcsin(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, arcsin⁡(x)\arcsin(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Arcsine не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.