Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Tangent

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxtan⁡(x)=sec⁡2(x)\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)

Производная от \tan(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Выразим тангенс как отношение синуса к косинусу.

tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Применим правило частного для дифференцирования.

Applyquotientrule:(uv)′=u′v−uv′v2Apply quotient rule: \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Подставим u = sin(x), v = cos(x) и вычислим u' и v'.

ddxtan⁡(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))cos⁡2(x)\frac{d}{dx}\tan(x) = \frac{\cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}

Упростим с помощью пифагорова тождества sin²(x) + cos²(x) = 1.

=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1cos⁡2(x)=sec⁡2(x)= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)

График

Визуализация Tangent и её производной.

f(x) = \tan(x)

f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan(x)

f'(x) = \sec^2(x)

f′(x)=sec⁡2(x)f'(x) = \sec^2(x)
Domain: x≠π2+kπ,k∈Zx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}Range: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxtan⁡(πx)\frac{d}{dx}\tan(\pi x)

Решение: πsec⁡2(πx)\pi \sec^2(\pi x)

1.Chainrulewithu=πx,u′=πChain rule with u = \pi x, u' = \pi
2.ddxtan⁡(πx)=sec⁡2(πx)⋅π\frac{d}{dx}\tan(\pi x) = \sec^2(\pi x) \cdot \pi

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Tangent?

+
Производная от tan⁡(x)\tan(x) равна sec⁡2(x)\sec^2(x). Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Tangent?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Tangent одинакова?

+
Да, формула производной для tan⁡(x)\tan(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, tan⁡(x)\tan(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Tangent не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.