Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Sine

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

Производная от \sin(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Применим определение производной через предел.

ddxsin⁡(x)=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡(x)h\frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}

Разложим по формуле сложения синуса: sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h).

=lim⁡h→0sin⁡(x)cos⁡(h)+cos⁡(x)sin⁡(h)−sin⁡(x)h= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}

Сгруппируем члены и вынесем sin(x) и cos(x) за скобки.

=lim⁡h→0[sin⁡(x)cos⁡(h)−1h+cos⁡(x)sin⁡(h)h]= \lim_{h \to 0} \left[ \sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

Вычислим известные пределы: lim (cos(h)-1)/h = 0 и lim sin(h)/h = 1.

=sin⁡(x)⋅0+cos⁡(x)⋅1=cos⁡(x)= \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)

График

Визуализация Sine и её производной.

f(x) = \sin(x)

f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)

f'(x) = \cos(x)

f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)
Domain: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)Range: [−1,1][-1, 1]

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxsin⁡(3x)\frac{d}{dx}\sin(3x)

Решение: 3cos⁡(3x)3\cos(3x)

1.Applychainrule:ddxsin⁡(u)=cos⁡(u)⋅u′Apply chain rule: \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'
2.Letu=3x,sou′=3Let u = 3x, so u' = 3
3.ddxsin⁡(3x)=cos⁡(3x)⋅3=3cos⁡(3x)\frac{d}{dx}\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

Найти: ddxsin⁡2(x)\frac{d}{dx}\sin^2(x)

Решение: 2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(2x)2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)

1.Applychainrule:ddx[u]2=2u⋅u′Apply chain rule: \frac{d}{dx}[u]^2 = 2u \cdot u'
2.Letu=sin⁡(x),sou′=cos⁡(x)Let u = \sin(x), so u' = \cos(x)
3.ddxsin⁡2(x)=2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)=sin⁡(2x)\frac{d}{dx}\sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Sine?

+
Производная от sin⁡(x)\sin(x) равна cos⁡(x)\cos(x). Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Sine?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Sine одинакова?

+
Да, формула производной для sin⁡(x)\sin(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, sin⁡(x)\sin(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Sine не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.