Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Cosine

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

Производная от \cos(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Применим определение производной через предел.

ddxcos⁡(x)=lim⁡h→0cos⁡(x+h)−cos⁡(x)h\frac{d}{dx}\cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h}

Разложим по формуле сложения косинуса: cos(x+h) = cos(x)cos(h) − sin(x)sin(h).

=lim⁡h→0cos⁡(x)cos⁡(h)−sin⁡(x)sin⁡(h)−cos⁡(x)h= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h}

Сгруппируем члены и вынесем cos(x) и sin(x) за скобки.

=lim⁡h→0[cos⁡(x)cos⁡(h)−1h−sin⁡(x)sin⁡(h)h]= \lim_{h \to 0} \left[ \cos(x)\frac{\cos(h)-1}{h} - \sin(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

Вычислим стандартные пределы для получения результата.

=cos⁡(x)⋅0−sin⁡(x)⋅1=−sin⁡(x)= \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 = -\sin(x)

График

Визуализация Cosine и её производной.

f(x) = \cos(x)

f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x)

f'(x) = -\sin(x)

f′(x)=−sin⁡(x)f'(x) = -\sin(x)
Domain: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)Range: [−1,1][-1, 1]

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxcos⁡(2x2)\frac{d}{dx}\cos(2x^2)

Решение: −4xsin⁡(2x2)-4x\sin(2x^2)

1.Chainrule:ddxcos⁡(u)=−sin⁡(u)⋅u′Chain rule: \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u) \cdot u'
2.u=2x2,u′=4xu = 2x^2, u' = 4x
3.ddxcos⁡(2x2)=−sin⁡(2x2)⋅4x=−4xsin⁡(2x2)\frac{d}{dx}\cos(2x^2) = -\sin(2x^2) \cdot 4x = -4x\sin(2x^2)

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Cosine?

+
Производная от cos⁡(x)\cos(x) равна −sin⁡(x)-\sin(x). Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Cosine?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Cosine одинакова?

+
Да, формула производной для cos⁡(x)\cos(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, cos⁡(x)\cos(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Cosine не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.