Производная Logarithm (base a)

Q: Чему равна производная Logarithm (base a)?

Производная от $\log_a(x)$ равна $\frac{1}{x\ln(a)}$. Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Q: Всегда ли производная Logarithm (base a) одинакова?

Да, формула производной для $\log_a(x)$ постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, $\log_a(x)$(u(x))) применяется правило цепочки.

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

Производная от \log_a(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Используем формулу перехода к новому основанию, чтобы выразить логарифм через натуральный.

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}

Заметим, что ln(a) — постоянный множитель и его можно вынести за скобки.

Since \ln(a) is constant:

Применим правило постоянного множителя.

\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{d}{dx}\ln(x)

Подставим d/dx[ln(x)] = 1/x для получения окончательного результата.

= \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln(a)}

График

Визуализация Logarithm (base a) и её производной.

f(x) = \log_a(x)

f(x) = \log_a(x)

f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

Domain:

(0, +\infty), a > 0, a \neq 1

Range:

(-\infty, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: $\frac{d}{dx}\log_{10}(x)$

Решение: $\frac{1}{x\ln(10)}$

a = 10, apply formula

= \frac{1}{x\ln(10)}

Найти: $\frac{d}{dx}\log_2(x^3)$

Решение: $\frac{3}{x\ln(2)}$

Chain rule: u = x^3, u' = 3x^2

= \frac{1}{x^3\ln(2)} \cdot 3x^2 = \frac{3}{x\ln(2)}

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

\sin(x)

\cos(x)

\tan(x)

\cot(x)

\sec(x)

\csc(x)

\ln(x)

\sqrt{x}

\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Logarithm (base a)?

Производная от

\log_a(x)

равна

\frac{1}{x\ln(a)}

. Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Logarithm (base a)?

Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Logarithm (base a) одинакова?

Да, формула производной для

\log_a(x)

постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например,

\log_a(x)

(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Logarithm (base a) не определена?

Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.