Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Square Root

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxx=12x\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Производная от \sqrt{x} равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Перепишем квадратный корень в показательной нотации.

x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}

Применим правило степени для дифференцирования.

Applypowerrule:ddx[xn]=nxn−1Apply power rule: \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}

Подставим n = 1/2 и упростим показатель.

ddxx1/2=12x1/2−1=12x−1/2\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}

Преобразуем обратно в радикальную нотацию для ответа.

=12x= \frac{1}{2\sqrt{x}}

График

Визуализация Square Root и её производной.

f(x) = \sqrt{x}

f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
Domain: [0,+∞)[0, +\infty)Range: [0,+∞)[0, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddx3x+1\frac{d}{dx}\sqrt{3x+1}

Решение: 323x+1\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

1.Rewrite:(3x+1)1/2,Chainrule:u=3x+1,u′=3Rewrite: (3x+1)^{1/2}, Chain rule: u = 3x+1, u' = 3
2.=12(3x+1)−1/2⋅3=323x+1= \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Square Root?

+
Производная от x\sqrt{x} равна 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}. Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Square Root?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Square Root одинакова?

+
Да, формула производной для x\sqrt{x} постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, x\sqrt{x}(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Square Root не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.