Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Secant

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxsec⁡(x)=sec⁡(x)tan⁡(x)\frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)

Производная от \sec(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Перепишем секанс как степень косинуса.

sec⁡(x)=1cos⁡(x)=[cos⁡(x)]−1\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} = [\cos(x)]^{-1}

Применим правило цепочки вместе с правилом степени.

Applychainrule:ddx[u]−1=−u−2⋅u′Apply chain rule: \frac{d}{dx}[u]^{-1} = -u^{-2} \cdot u'

Продифференцируем внешнюю функцию и умножаем на производную cos(x).

ddxsec⁡(x)=−[cos⁡(x)]−2⋅(−sin⁡(x))\frac{d}{dx}\sec(x) = -[\cos(x)]^{-2} \cdot (-\sin(x))

Упростим, разложив на sec(x) и tan(x).

=sin⁡(x)cos⁡2(x)=1cos⁡(x)⋅sin⁡(x)cos⁡(x)=sec⁡(x)tan⁡(x)= \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)

График

Визуализация Secant и её производной.

f(x) = \sec(x)

f(x)=sec⁡(x)f(x) = \sec(x)

f'(x) = \sec(x)\tan(x)

f′(x)=sec⁡(x)tan⁡(x)f'(x) = \sec(x)\tan(x)
Domain: x≠π2+kπ,k∈Zx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}Range: (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxsec⁡(3x+1)\frac{d}{dx}\sec(3x+1)

Решение: 3sec⁡(3x+1)tan⁡(3x+1)3\sec(3x+1)\tan(3x+1)

1.u=3x+1,u′=3u = 3x+1, u' = 3
2.=3sec⁡(3x+1)tan⁡(3x+1)= 3\sec(3x+1)\tan(3x+1)

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Secant?

+
Производная от sec⁡(x)\sec(x) равна sec⁡(x)tan⁡(x)\sec(x)\tan(x). Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Secant?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Secant одинакова?

+
Да, формула производной для sec⁡(x)\sec(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, sec⁡(x)\sec(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Secant не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.