Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Cosecant

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxcsc⁡(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x)\frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x)

Производная от \csc(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Перепишем косеканс как степень синуса.

csc⁡(x)=1sin⁡(x)=[sin⁡(x)]−1\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} = [\sin(x)]^{-1}

Применим правило цепочки вместе с правилом степени.

Chainrule:ddx[u]−1=−u−2⋅u′Chain rule: \frac{d}{dx}[u]^{-1} = -u^{-2} \cdot u'

Продифференцируем и умножаем на производную sin(x).

ddxcsc⁡(x)=−[sin⁡(x)]−2⋅cos⁡(x)\frac{d}{dx}\csc(x) = -[\sin(x)]^{-2} \cdot \cos(x)

Разложим на −csc(x)cot(x).

=−cos⁡(x)sin⁡2(x)=−1sin⁡(x)⋅cos⁡(x)sin⁡(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x)= \frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)

График

Визуализация Cosecant и её производной.

f(x) = \csc(x)

f(x)=csc⁡(x)f(x) = \csc(x)

f'(x) = -\csc(x)\cot(x)

f′(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x)f'(x) = -\csc(x)\cot(x)
Domain: x≠kπ,k∈Zx \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}Range: (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxcsc⁡(x3)\frac{d}{dx}\csc(x^3)

Решение: −3x2csc⁡(x3)cot⁡(x3)-3x^2\csc(x^3)\cot(x^3)

1.u=x3,u′=3x2u = x^3, u' = 3x^2
2.=−3x2csc⁡(x3)cot⁡(x3)= -3x^2\csc(x^3)\cot(x^3)

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Cosecant?

+
Производная от csc⁡(x)\csc(x) равна −csc⁡(x)cot⁡(x)-\csc(x)\cot(x). Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Cosecant?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Cosecant одинакова?

+
Да, формула производной для csc⁡(x)\csc(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, csc⁡(x)\csc(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Cosecant не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.