Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Cotangent

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxcot⁡(x)=−csc⁡2(x)\frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x)

Производная от \cot(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Выразим котангенс как отношение косинуса к синусу.

cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

Применим правило частного для дифференцирования.

Quotientrule:(uv)′=u′v−uv′v2Quotient rule: \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Подставим u = cos(x), v = sin(x), u' = −sin(x), v' = cos(x).

ddxcot⁡(x)=−sin⁡(x)⋅sin⁡(x)−cos⁡(x)⋅cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{d}{dx}\cot(x) = \frac{-\sin(x)\cdot\sin(x) - \cos(x)\cdot\cos(x)}{\sin^2(x)}

Упростим с помощью пифагорова тождества.

=−sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)=−1sin⁡2(x)=−csc⁡2(x)= \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{-1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)

График

Визуализация Cotangent и её производной.

f(x) = \cot(x)

f(x)=cot⁡(x)f(x) = \cot(x)

f'(x) = -\csc^2(x)

f′(x)=−csc⁡2(x)f'(x) = -\csc^2(x)
Domain: x≠kπ,k∈Zx \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}Range: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxcot⁡(x2)\frac{d}{dx}\cot(x^2)

Решение: −2xcsc⁡2(x2)-2x\csc^2(x^2)

1.Chainrule:u=x2,u′=2xChain rule: u = x^2, u' = 2x
2.=−csc⁡2(x2)⋅2x= -\csc^2(x^2) \cdot 2x

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Cotangent?

+
Производная от cot⁡(x)\cot(x) равна −csc⁡2(x)-\csc^2(x). Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Cotangent?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Cotangent одинакова?

+
Да, формула производной для cot⁡(x)\cot(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, cot⁡(x)\cot(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Cotangent не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.