Derivative Calculator LogoКалькулятор производных

Производная Natural Logarithm

Полное руководство с формулой, доказательством, примерами и графиком.

Быстрый ответ

ddxln⁡(x)=1x\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

Производная от \ln(x) равна:

Доказательство / Вывод

Пошаговый вывод формулы производной.

Начнём с определения натурального логарифма как обратной функции экспоненты.

Lety=ln⁡(x),thenx=eyLet y = \ln(x), then x = e^y

Продифференцируем обе части по x с использованием неявного дифференцирования.

Differentiateimplicitly:ddx[x]=ddx[ey]Differentiate implicitly: \frac{d}{dx}[x] = \frac{d}{dx}[e^y]

Применим правило цепочки к правой части: d/dx[e^y] = e^y · dy/dx.

1=ey⋅dydx1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}

Решим относительно dy/dx и подставим обратно e^y = x.

dydx=1ey=1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}

График

Визуализация Natural Logarithm и её производной.

f(x) = \ln(x)

f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x)

f'(x) = \frac{1}{x}

f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}
Domain: (0,+∞)(0, +\infty)Range: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

Решённые примеры

Пошаговые решения с использованием правила цепочки и других методов.

Найти: ddxln⁡(5x+2)\frac{d}{dx}\ln(5x+2)

Решение: 55x+2\frac{5}{5x+2}

1.Chainrule:u=5x+2,u′=5Chain rule: u = 5x+2, u' = 5
2.ddxln⁡(5x+2)=15x+2⋅5=55x+2\frac{d}{dx}\ln(5x+2) = \frac{1}{5x+2} \cdot 5 = \frac{5}{5x+2}

Найти: ddxln⁡(x2+1)\frac{d}{dx}\ln(x^2+1)

Решение: 2xx2+1\frac{2x}{x^2+1}

1.u=x2+1,u′=2xu = x^2+1, u' = 2x
2.=1x2+1⋅2x= \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x

Вычислить любую производную

Используйте наш бесплатный онлайн-калькулятор производных для проверки ответов или решения более сложных функций.

Открыть калькулятор производных

Связанные производные

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

Часто задаваемые вопросы

Чему равна производная Natural Logarithm?

+
Производная от ln⁡(x)\ln(x) равна 1x\frac{1}{x}. Это одна из фундаментальных производных математического анализа, которую нужно запомнить.

Как доказать производную Natural Logarithm?

+
Доказательство использует определение производной через предел. См. раздел Доказательство выше для полного пошагового вывода.

Всегда ли производная Natural Logarithm одинакова?

+
Да, формула производной для ln⁡(x)\ln(x) постоянна — она не зависит от x. Однако при композиции с внутренней функцией (например, ln⁡(x)\ln(x)(u(x))) применяется правило цепочки.

Где производная Natural Logarithm не определена?

+
Производная не определена там, где исходная функция недифференцируема. Подробнее см. в разделе области определения.