Arcsine的導數

Q: Arcsine的導數是什麼？

$\arcsin(x)$ 的導數是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Arcsine的導數始終不變嗎？

是的，$\arcsin(x)$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\arcsin(x)$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\arcsin(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

從反正弦的定義開始：它是正弦的反函數。

Let y = \arcsin(x), then x = \sin(y)

利用隱微分對兩邊關於 x 微分。

Differentiate implicitly: 1 = \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}

解出 dy/dx。

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)}

利用畢達哥拉斯恆等式將 cos(y) 用 x 表示。

Since \sin(y) = x, \cos(y) = \sqrt{1-\sin^2(y)} = \sqrt{1-x^2}

代入得到最終的導數公式。

\therefore \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

函數圖像

Arcsine及其導數的可視化圖像。

f(x) = \arcsin(x)

f(x) = \arcsin(x)

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Domain:

(-1, 1)

Range:

[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\arcsin(2x)$

解： $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Chain rule: u = 2x, u' = 2

= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

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常見問題

Arcsine的導數是什麼？

\arcsin(x)

的導數是

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Arcsine的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Arcsine的導數始終不變嗎？

是的，

\arcsin(x)

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\arcsin(x)

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Arcsine的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。