Tangent的導數

Q: Tangent的導數是什麼？

$\tan(x)$ 的導數是 $\sec^2(x)$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Tangent的導數始終不變嗎？

是的，$\tan(x)$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\tan(x)$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)

\tan(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

將正切表示為正弦與餘弦的商。

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

應用商數求導法則。

Apply quotient rule: \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

代入 u = sin(x)，v = cos(x)，計算 u' 和 v'。

\frac{d}{dx}\tan(x) = \frac{\cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}

利用畢達哥拉斯恆等式 sin²(x) + cos²(x) = 1 化簡。

= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)

函數圖像

Tangent及其導數的可視化圖像。

f(x) = \tan(x)

f(x) = \tan(x)

f'(x) = \sec^2(x)

f'(x) = \sec^2(x)

Domain:

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}

Range:

(-\infty, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\tan(\pi x)$

解： $\pi \sec^2(\pi x)$

Chain rule with u = \pi x, u' = \pi

\frac{d}{dx}\tan(\pi x) = \sec^2(\pi x) \cdot \pi

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常見問題

Tangent的導數是什麼？

\tan(x)

的導數是

\sec^2(x)

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Tangent的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Tangent的導數始終不變嗎？

是的，

\tan(x)

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\tan(x)

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Tangent的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。