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Cosecant的導數

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

ddxcsc⁡(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x)\frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x)

\csc(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

將餘割改寫為正弦的冪次形式。

csc⁡(x)=1sin⁡(x)=[sin⁡(x)]−1\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} = [\sin(x)]^{-1}

應用鏈式法則與冪次法則。

Chainrule:ddx[u]−1=−u−2⋅u′Chain rule: \frac{d}{dx}[u]^{-1} = -u^{-2} \cdot u'

對函數微分，再乘以 sin(x) 的導數。

ddxcsc⁡(x)=−[sin⁡(x)]−2⋅cos⁡(x)\frac{d}{dx}\csc(x) = -[\sin(x)]^{-2} \cdot \cos(x)

因式分解為 −csc(x)cot(x)。

=−cos⁡(x)sin⁡2(x)=−1sin⁡(x)⋅cos⁡(x)sin⁡(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x)= \frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)

函數圖像

Cosecant及其導數的可視化圖像。

f(x) = \csc(x)

f(x)=csc⁡(x)f(x) = \csc(x)

f'(x) = -\csc(x)\cot(x)

f′(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x)f'(x) = -\csc(x)\cot(x)
Domain: x≠kπ,k∈Zx \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}Range: (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： ddxcsc⁡(x3)\frac{d}{dx}\csc(x^3)

解： −3x2csc⁡(x3)cot⁡(x3)-3x^2\csc(x^3)\cot(x^3)

1.u=x3,u′=3x2u = x^3, u' = 3x^2
2.=−3x2csc⁡(x3)cot⁡(x3)= -3x^2\csc(x^3)\cot(x^3)

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相關導數

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

常見問題

Cosecant的導數是什麼？

+
csc⁡(x)\csc(x) 的導數是 −csc⁡(x)cot⁡(x)-\csc(x)\cot(x)。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Cosecant的導數？

+
證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Cosecant的導數始終不變嗎？

+
是的，csc⁡(x)\csc(x) 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 csc⁡(x)\csc(x)(u(x))，需要使用鏈式法則。

Cosecant的導數在何處無定義？

+
導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。