Natural Logarithm的導數

Q: Natural Logarithm的導數是什麼？

$\ln(x)$ 的導數是 $\frac{1}{x}$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Natural Logarithm的導數始終不變嗎？

是的，$\ln(x)$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\ln(x)$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

\ln(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

從自然對數的定義開始：它是指數函數的反函數。

Let y = \ln(x), then x = e^y

利用隱微分對兩邊關於 x 微分。

Differentiate implicitly: \frac{d}{dx}[x] = \frac{d}{dx}[e^y]

右側應用鏈式法則：d/dx[e^y] = e^y · dy/dx。

1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}

解出 dy/dx，並代回 e^y = x。

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}

函數圖像

Natural Logarithm及其導數的可視化圖像。

f(x) = \ln(x)

f(x) = \ln(x)

f'(x) = \frac{1}{x}

f'(x) = \frac{1}{x}

Domain:

(0, +\infty)

Range:

(-\infty, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\ln(5x+2)$

解： $\frac{5}{5x+2}$

Chain rule: u = 5x+2, u' = 5

\frac{d}{dx}\ln(5x+2) = \frac{1}{5x+2} \cdot 5 = \frac{5}{5x+2}

求： $\frac{d}{dx}\ln(x^2+1)$

解： $\frac{2x}{x^2+1}$

u = x^2+1, u' = 2x

= \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x

計算任意導數

使用我們的免費線上導數計算器驗證答案或求解更複雜的函數。

打開導數計算器

常見問題

Natural Logarithm的導數是什麼？

\ln(x)

的導數是

\frac{1}{x}

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Natural Logarithm的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Natural Logarithm的導數始終不變嗎？

是的，

\ln(x)

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\ln(x)

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Natural Logarithm的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。