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Cosine的導數

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

\cos(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

應用導數的極限定義。

ddxcos⁡(x)=lim⁡h→0cos⁡(x+h)−cos⁡(x)h\frac{d}{dx}\cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h}

利用餘弦加法公式展開：cos(x+h) = cos(x)cos(h) − sin(x)sin(h)

=lim⁡h→0cos⁡(x)cos⁡(h)−sin⁡(x)sin⁡(h)−cos⁡(x)h= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h}

分組並提取 cos(x) 和 sin(x)

=lim⁡h→0[cos⁡(x)cos⁡(h)−1h−sin⁡(x)sin⁡(h)h]= \lim_{h \to 0} \left[ \cos(x)\frac{\cos(h)-1}{h} - \sin(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

計算標準極限以獲得結果

=cos⁡(x)⋅0−sin⁡(x)⋅1=−sin⁡(x)= \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 = -\sin(x)

函數圖像

Cosine及其導數的可視化圖像。

f(x) = \cos(x)

f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x)

f'(x) = -\sin(x)

f′(x)=−sin⁡(x)f'(x) = -\sin(x)
Domain: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)Range: [−1,1][-1, 1]

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： ddxcos⁡(2x2)\frac{d}{dx}\cos(2x^2)

解： −4xsin⁡(2x2)-4x\sin(2x^2)

1.Chainrule:ddxcos⁡(u)=−sin⁡(u)⋅u′Chain rule: \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u) \cdot u'
2.u=2x2,u′=4xu = 2x^2, u' = 4x
3.ddxcos⁡(2x2)=−sin⁡(2x2)⋅4x=−4xsin⁡(2x2)\frac{d}{dx}\cos(2x^2) = -\sin(2x^2) \cdot 4x = -4x\sin(2x^2)

計算任意導數

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相關導數

sin⁡(x)\sin(x)tan⁡(x)\tan(x)cot⁡(x)\cot(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

常見問題

Cosine的導數是什麼？

+
cos⁡(x)\cos(x) 的導數是 −sin⁡(x)-\sin(x)。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Cosine的導數？

+
證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Cosine的導數始終不變嗎？

+
是的，cos⁡(x)\cos(x) 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 cos⁡(x)\cos(x)(u(x))，需要使用鏈式法則。

Cosine的導數在何處無定義？

+
導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。