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Cotangent的導數

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

ddxcot⁡(x)=−csc⁡2(x)\frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x)

\cot(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

將餘切表示為餘弦與正弦的商。

cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

應用商數求導法則。

Quotientrule:(uv)′=u′v−uv′v2Quotient rule: \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

代入 u = cos(x)，v = sin(x)，u' = −sin(x)，v' = cos(x)。

ddxcot⁡(x)=−sin⁡(x)⋅sin⁡(x)−cos⁡(x)⋅cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{d}{dx}\cot(x) = \frac{-\sin(x)\cdot\sin(x) - \cos(x)\cdot\cos(x)}{\sin^2(x)}

利用畢達哥拉斯恆等式化簡。

=−sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)=−1sin⁡2(x)=−csc⁡2(x)= \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{-1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)

函數圖像

Cotangent及其導數的可視化圖像。

f(x) = \cot(x)

f(x)=cot⁡(x)f(x) = \cot(x)

f'(x) = -\csc^2(x)

f′(x)=−csc⁡2(x)f'(x) = -\csc^2(x)
Domain: x≠kπ,k∈Zx \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}Range: (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： ddxcot⁡(x2)\frac{d}{dx}\cot(x^2)

解： −2xcsc⁡2(x2)-2x\csc^2(x^2)

1.Chainrule:u=x2,u′=2xChain rule: u = x^2, u' = 2x
2.=−csc⁡2(x2)⋅2x= -\csc^2(x^2) \cdot 2x

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相關導數

sin⁡(x)\sin(x)cos⁡(x)\cos(x)tan⁡(x)\tan(x)sec⁡(x)\sec(x)csc⁡(x)\csc(x)ln⁡(x)\ln(x)log⁡a(x)\log_a(x)x\sqrt{x}arcsin⁡(x)\arcsin(x)

常見問題

Cotangent的導數是什麼？

+
cot⁡(x)\cot(x) 的導數是 −csc⁡2(x)-\csc^2(x)。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Cotangent的導數？

+
證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Cotangent的導數始終不變嗎？

+
是的，cot⁡(x)\cot(x) 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 cot⁡(x)\cot(x)(u(x))，需要使用鏈式法則。

Cotangent的導數在何處無定義？

+
導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。