Secant的導數

Q: Secant的導數是什麼？

$\sec(x)$ 的導數是 $\sec(x)\tan(x)$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Secant的導數始終不變嗎？

是的，$\sec(x)$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\sec(x)$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)

\sec(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

將正割改寫為餘弦的冪次形式。

\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} = [\cos(x)]^{-1}

應用鏈式法則與冪次法則。

Apply chain rule: \frac{d}{dx}[u]^{-1} = -u^{-2} \cdot u'

對外層函數微分，再乘以 cos(x) 的導數。

\frac{d}{dx}\sec(x) = -[\cos(x)]^{-2} \cdot (-\sin(x))

因式分解為 sec(x) 和 tan(x) 以化簡。

= \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)

函數圖像

Secant及其導數的可視化圖像。

f(x) = \sec(x)

f(x) = \sec(x)

f'(x) = \sec(x)\tan(x)

f'(x) = \sec(x)\tan(x)

Domain:

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}

Range:

(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\sec(3x+1)$

解： $3\sec(3x+1)\tan(3x+1)$

u = 3x+1, u' = 3

= 3\sec(3x+1)\tan(3x+1)

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常見問題

Secant的導數是什麼？

\sec(x)

的導數是

\sec(x)\tan(x)

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Secant的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Secant的導數始終不變嗎？

是的，

\sec(x)

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\sec(x)

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Secant的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。