Logarithm (base a)的導數

Q: Logarithm (base a)的導數是什麼？

$\log_a(x)$ 的導數是 $\frac{1}{x\ln(a)}$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Logarithm (base a)的導數始終不變嗎？

是的，$\log_a(x)$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\log_a(x)$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

\log_a(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

使用換底公式將對數轉換為自然對數形式。

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}

注意 ln(a) 是常數因子，可以提出來。

Since \ln(a) is constant:

應用常數倍法則。

\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{d}{dx}\ln(x)

代入 d/dx[ln(x)] = 1/x 得到最終結果。

= \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln(a)}

函數圖像

Logarithm (base a)及其導數的可視化圖像。

f(x) = \log_a(x)

f(x) = \log_a(x)

f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

Domain:

(0, +\infty), a > 0, a \neq 1

Range:

(-\infty, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\log_{10}(x)$

解： $\frac{1}{x\ln(10)}$

a = 10, apply formula

= \frac{1}{x\ln(10)}

求： $\frac{d}{dx}\log_2(x^3)$

解： $\frac{3}{x\ln(2)}$

Chain rule: u = x^3, u' = 3x^2

= \frac{1}{x^3\ln(2)} \cdot 3x^2 = \frac{3}{x\ln(2)}

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常見問題

Logarithm (base a)的導數是什麼？

\log_a(x)

的導數是

\frac{1}{x\ln(a)}

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Logarithm (base a)的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Logarithm (base a)的導數始終不變嗎？

是的，

\log_a(x)

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\log_a(x)

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Logarithm (base a)的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。