Sine的導數

Q: Sine的導數是什麼？

$\sin(x)$ 的導數是 $\cos(x)$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Sine的導數始終不變嗎？

是的，$\sin(x)$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\sin(x)$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

\sin(x) 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

應用導數的極限定義。

\frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}

利用正弦加法公式展開：sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)

= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}

分組並提取 sin(x) 和 cos(x)

= \lim_{h \to 0} \left[ \sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \right]

計算已知極限：lim (cos(h)-1)/h = 0，lim sin(h)/h = 1

= \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)

函數圖像

Sine及其導數的可視化圖像。

f(x) = \sin(x)

f(x) = \sin(x)

f'(x) = \cos(x)

f'(x) = \cos(x)

Domain:

(-\infty, +\infty)

Range:

[-1, 1]

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\sin(3x)$

解： $3\cos(3x)$

Apply chain rule: \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'

Let u = 3x, so u' = 3

\frac{d}{dx}\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

求： $\frac{d}{dx}\sin^2(x)$

解： $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$

Apply chain rule: \frac{d}{dx}[u]^2 = 2u \cdot u'

Let u = \sin(x), so u' = \cos(x)

\frac{d}{dx}\sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)

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常見問題

Sine的導數是什麼？

\sin(x)

的導數是

\cos(x)

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Sine的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Sine的導數始終不變嗎？

是的，

\sin(x)

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\sin(x)

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Sine的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。