Square Root的導數

Q: Square Root的導數是什麼？

$\sqrt{x}$ 的導數是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

Q: Square Root的導數始終不變嗎？

是的，$\sqrt{x}$ 的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如 $\sqrt{x}$(u(x))，需要使用鏈式法則。

包含公式推導、例題詳解與函數圖像的完整指南。

快速答案

\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

\sqrt{x} 的導數為：

證明/推導過程

導數公式的逐步推導。

利用指數記號重寫平方根。

\sqrt{x} = x^{1/2}

應用冪次求導法則。

Apply power rule: \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}

代入 n = 1/2 並化簡指數。

\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}

轉換回根號記號得到最終答案。

= \frac{1}{2\sqrt{x}}

函數圖像

Square Root及其導數的可視化圖像。

f(x) = \sqrt{x}

f(x) = \sqrt{x}

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Domain:

[0, +\infty)

Range:

[0, +\infty)

例題詳解

使用鏈式法則等技巧的逐步解答。

求： $\frac{d}{dx}\sqrt{3x+1}$

解： $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

Rewrite: (3x+1)^{1/2}, Chain rule: u = 3x+1, u' = 3

= \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

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常見問題

Square Root的導數是什麼？

\sqrt{x}

的導數是

\frac{1}{2\sqrt{x}}

。這是微積分中最基礎的導數之一，需要牢記。

如何證明Square Root的導數？

證明使用導數的極限定義。請參見上方的證明部分查看完整的逐步推導過程。

Square Root的導數始終不變嗎？

是的，

\sqrt{x}

的導數公式是常數——它不依賴於 x。但當與內函數複合時（如

\sqrt{x}

(u(x))，需要使用鏈式法則。

Square Root的導數在何處無定義？

導數在原函數不可微的地方無定義。詳見定義域部分。